গণিতবিদরা এই সংখ্যাগুলিকে আরও ভালভাবে বুঝতে চেয়েছিলেন, যেগুলি সংখ্যা তত্ত্বের সবচেয়ে মৌলিক বস্তু, মৌলিক সংখ্যাগুলির সাথে সমান। দেখা গেল যে 1899 সালে – কারমাইকেলের ফলাফলের দশ বছর আগে – অন্য একজন গণিতবিদ, অ্যালউইন কর্সেল্ট একই সংজ্ঞা নিয়ে এসেছিলেন। বিলের সাথে মানানসই কোন সংখ্যা আছে কিনা তা তিনি জানতেন না।
করসেল্টের মানদণ্ড অনুযায়ী একটি সংখ্যা এন একটি কারমাইকেল সংখ্যা যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি তিনটি বৈশিষ্ট্য সন্তুষ্ট করে। প্রথমত, এটির একাধিক প্রাইম ফ্যাক্টর থাকতে হবে। দ্বিতীয়ত, কোন মৌলিক ফ্যাক্টর নিজেকে পুনরাবৃত্তি করতে পারে না। এবং তৃতীয়, যেকোনো মৌলিক সংখ্যার জন্য পি যে বিভক্ত এন, পি – 1 এছাড়াও বিভাজন এন – 1. 561 নম্বরটি আবার দেখুন৷ এটি 3 × 11 × 17 এর সমান, তাই এটি কর্সেল্টের তালিকার প্রথম দুটি বৈশিষ্ট্যকে স্পষ্টভাবে সন্তুষ্ট করে৷ শেষ সম্পত্তি দেখাতে, প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়ক থেকে 1 বিয়োগ করে 2, 10 এবং 16 পেতে হবে। উপরন্তু, 561 থেকে 1 বিয়োগ করুন। তিনটি ছোট সংখ্যাই 560 এর ভাজক। তাই 561 সংখ্যাটি একটি কারমাইকেল সংখ্যা।
যদিও গণিতবিদরা সন্দেহ করেছিলেন যে অসীমভাবে অনেকগুলি কারমাইকেল সংখ্যা রয়েছে, তারা মৌলিক সংখ্যার তুলনায় তুলনামূলকভাবে কম, তাদের পিন করা কঠিন করে তোলে। 1994 সালে, রেড অ্যালফোর্ড, অ্যান্ড্রু গ্র্যানভিল এবং কার্ল পোমেরেন্স একটি যুগান্তকারী কাগজ প্রকাশ করেছিলেন যেখানে তারা অবশেষে প্রমাণ করেছিলেন যে এই সিউডোপ্রাইমগুলির প্রকৃতপক্ষে অসীম সংখ্যা রয়েছে।
দুর্ভাগ্যবশত, তারা যে কৌশলগুলি তৈরি করেছিল তা তাদের কারমাইকেল গানগুলি কেমন ছিল সে সম্পর্কে কিছু বলার অনুমতি দেয়নি। তারা কি সংখ্যারেখা বরাবর ক্লাস্টারে উপস্থিত হয়েছিল, যার মধ্যে বড় ফাঁক রয়েছে? অথবা আপনি সবসময় অল্প সময়ের মধ্যে একটি কারমাইকেল গান খুঁজে পেতে সক্ষম? “আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে তাদের মধ্যে অসীম অনেকগুলি আছে, তাহলে আপনি মনে করবেন,” গ্রানভিল বলেছিলেন, “আপনি প্রমাণ করতে সক্ষম হবেন যে তাদের মধ্যে কোনও বড় ফাঁক নেই, তাদের অবশ্যই তুলনামূলকভাবে ভালভাবে আলাদা থাকতে হবে।”
বিশেষ করে, তিনি এবং তার সহ-লেখকরা এমন একটি দাবি প্রমাণ করার আশা করেছিলেন যা এই ধারণাটিকে প্রতিফলিত করে – যা প্রচুর পরিমাণে দিয়েছে এক্সএর মধ্যে সর্বদা একটি কারমাইকেল নম্বর থাকবে এক্স এবং 2এক্স. “এটি কতটা সর্বব্যাপী তা প্রকাশ করার আরেকটি উপায়,” বলেছেন জন গ্রান্থাম, ইনস্টিটিউট ফর ডিফেন্স অ্যানালাইসিসের গণিতবিদ যিনি সম্পর্কিত কাজ করেছেন।
কিন্তু কয়েক দশক ধরে কেউ তা প্রমাণ করতে পারেনি। আলফোর্ড, গ্র্যানভিল এবং পোমেরেন্স দ্বারা বিকশিত কৌশলগুলি “আমাদের দেখানোর অনুমতি দিয়েছে যে প্রচুর কারমাইকেল সংখ্যা থাকবে,” পোমেরেন্স বলেছেন, “কিন্তু তারা কোথায় থাকবে তার উপর আমাদের সম্পূর্ণ নিয়ন্ত্রণ রাখতে দেয়নি।” “
তারপরে, 2021 সালের নভেম্বরে, গ্র্যানভিল লারসেনের কাছ থেকে একটি ইমেল খোলেন, তার বয়স তখন 17 বছর এবং উচ্চ বিদ্যালয়ের তার সিনিয়র বছরে। এটি একটি কাগজের টুকরো নিয়ে এসেছিল – এবং গ্র্যানভিলের আশ্চর্যের জন্য এটি ভাল লাগছিল। “এটি সবচেয়ে সহজ পঠিত ছিল না,” তিনি বলেছিলেন। “কিন্তু যখন আমি এটা পড়লাম, তখন এটা বেশ পরিষ্কার যে সে কোন গোলমাল করছে না। তার দুর্দান্ত ধারণা ছিল।”
Pomerance, কাজের একটি পরবর্তী সংস্করণ পড়া, একমত. “তার প্রমাণ সত্যিই খুব পরিশীলিত,” তিনি বলেন. “এটি এমন একটি কাগজ হবে যা যে কোনও গণিতবিদ খুব গর্বিত হবেন। এবং এখানে একটি উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্র এটি লিখছে.